Um die Theorie der Informationszeit zu formalisieren, lässt sich ein wenig Mathematik leider nicht vermeiden. Aber keine Panik: Das Ganze hat sich über viele Diskussionen hinweg zu einer überraschend überschaubaren Struktur entwickelt. Der erste Schritt bestand darin, den Begriff Information zu präzisieren. Dabei zeigte sich recht schnell, dass das übliche Verständnis zu eng gefasst war. In der klassischen Informationstheorie wird Information im Wesentlichen über Wahrscheinlichkeiten beschrieben. Für die hier angestrebte Verallgemeinerung reicht das jedoch nicht aus. Um diese erweiterte Form von Information von den klassischen Begriffen abzugrenzen, bezeichnen wir sie mit dem Symbol Δ (Delta).
Delta beschreibt nicht nur Wahrscheinlichkeiten, sondern die Gesamtheit aller Aussagen, Beziehungen, Historien, Transformationen und Ereignisse und ihrer gegenseitigen Verknüpfungen eines Objekts.
Formal schreiben wir:
Dabei stehen:
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für Aussagen über das Objekt, |
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für Beziehungen zwischen Aussagen, |
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für Wahrscheinlichkeiten, |
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für historische Anteile, |
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für Transformationen, |
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für Ereignisse. |
Interessanterweise verschwindet damit die klassische Informationstheorie keineswegs. Im Gegenteil. Betrachtet man ausschließlich die Wahrscheinlichkeitsanteile
Πₚ(Δ) = { p₁, p₂, p₃, ... } und ignoriert alle übrigen Bestandteile von Delta, erhält man unmittelbar den Shannon'schen Informationsbegriff H = − Σ pᵢ · log(pᵢ)
Damit ergibt sich ein bemerkenswertes Korrespondenzprinzip:
Shannon ⊂ Δ
Die Shannon-Information wird also nicht ersetzt, sondern erscheint als Spezialfall eines allgemeineren Informationsbegriffs.
Man könnte es auch so formulieren:
Shannon beantwortet die Frage: Wie überraschend ist eine Aussage?
Delta beantwortet die Frage: Was ist eine Aussage überhaupt?
Erst mit dieser Verallgemeinerung wird es möglich, Information nicht nur als Wahrscheinlichkeitsmaß, sondern als strukturierte Beschreibung von Realität zu behandeln. Genau daraus entsteht im nächsten Schritt die Informationsgeometrie M(Δ), deren Entwicklung schließlich zur Informationszeit τi führt.
Delta beschreibt zunächst lediglich den vollständigen Informationsinhalt eines Objekts. Allerdings liegen Aussagen, Beziehungen, Wahrscheinlichkeiten, Historien und Transformationen nicht unabhängig voneinander vor. Sie bilden ein Netzwerk aus gegenseitigen Abhängigkeiten und Wechselwirkungen.
Um diese Struktur sichtbar zu machen, führen wir die Informationsgeometrie M(Δ) ein. Formal kann man sich M(Δ) als strukturierte Darstellung des Delta-Raums vorstellen.
Während Delta die einzelnen Informationsbestandteile enthält, beschreibt M(Δ), wie diese Bestandteile miteinander verknüpft sind. Symbolisch schreiben wir:
M(Δ) = Struktur(Δ)
oder ausgeschrieben:
Man kann sich M(Δ) als eine Matrix, einen Graphen oder allgemeiner als eine Geometrie vorstellen, die aus den Informationsbestandteilen selbst entsteht. Die Geometrie wird dabei nicht von außen vorgegeben, sondern ergibt sich aus den Beziehungen innerhalb von Delta. Gerade dieser Punkt unterscheidet den Ansatz von vielen klassischen Modellen. Ein gewöhnlicher Vektor beschreibt einen Punkt innerhalb einer bereits vorhandenen Geometrie. Die Informationsgeometrie M(Δ) dagegen enthält die Beziehungen, aus denen diese Geometrie überhaupt erst entsteht. Damit erhält Information eine zusätzliche strukturelle Komponente. Sie besteht nicht mehr nur aus einzelnen Aussagen, sondern auch aus den Verbindungen zwischen diesen Aussagen. Die Geometrie des Informationsraums wird selbst Teil der Information.
Besonders wichtig ist dabei, dass Historien und Transformationen Bestandteil von Delta bleiben. Die Vergangenheit eines Systems geht also nicht verloren, sondern wird Teil seiner aktuellen Struktur. Die Informationsgeometrie enthält damit nicht nur einen Zustand, sondern zugleich Spuren seiner Entstehung.
Erst durch diese geometrische Darstellung wird es möglich, die Entwicklung eines Informationsraums mathematisch zu betrachten. Die daraus resultierende Änderungsrate der Informationsgeometrie führt schließlich zur Definition der Informationszeit τᵢ.
Formal lautet es also:
τᵢ = β ∫ | dM(Δ)/dτ | dτ
Dabei bezeichnet:
- τ die Eigenzeit des betrachteten Systems,
- M(Δ) die Informationsgeometrie,
- β einen Normierungsfaktor,
- τᵢ die Informationszeit.
Die Informationszeit wächst immer dann, wenn sich die Informationsgeometrie verändert. Ein unveränderter Informationsraum besitzt dM(Δ)/dτ = 0 und trägt daher nicht weiter zur Informationszeit bei. Verändert sich die Struktur dagegen, gilt dM(Δ)/dτ ≠ 0 und die Informationszeit nimmt zu. Damit erhält man zunächst eine rein informationsgeometrische Definition, ohne weitere physikalische Annahmen. Erst im nächsten Schritt stellt sich die Frage, ob zwischen der Änderung von Informationsstrukturen und bekannten physikalischen Größen ein Zusammenhang besteht. Bei dieser Untersuchung zeigt sich überraschend, dass die Änderungsraten von Informationsstrukturen dieselbe dimensionsbehaftete Form besitzen wie die aus der Quantentheorie bekannte Größe E/ℏ. Dies führt zur Vermutung, dass zwischen Informationsentwicklung und physikalischer Wirkung ein tieferer Zusammenhang bestehen könnte.
Setzt man diese mögliche Beziehung an, ergibt sich
τᵢ ∝ (1/ℏ) ∫ E dτ
und damit
τᵢ ∝ S/ℏ
wobei S die physikalische Wirkung bezeichnet.
An diesem Punkt handelt es sich jedoch noch nicht um eine bewiesene Gleichung, sondern um eine bemerkenswerte Konsequenz der bisherigen Struktur. Die Stärke dieser Beziehung liegt nicht darin, dass sie postuliert wurde, sondern darin, dass sie sich als natürlicher Kandidat aus den vorangegangenen Definitionen ergibt.
Die Informationszeit erscheint damit nicht mehr als frei eingeführte Zusatzgröße, sondern als informationsstrukturelle Darstellung derselben dimensionslosen Größe, die in der Quantenmechanik bereits durch das Verhältnis S/ℏ auftritt. Die Informationszeit verbindet den Informationsraum Δ, seine Geometrie M(Δ) und die Wirkung der Physik innerhalb eines gemeinsamen mathematischen Rahmens. Die ursprünglich philosophische Frage nach der Entwicklung von Information führt damit überraschend direkt zu einem der grundlegendsten Wirkungsprinzipien der modernen Physik.